$\sin (\alpha +\beta )=1$ और $\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}$ है, तो $\tan (\alpha +2\beta )\tan (2\alpha +\beta )=?$

चरणबद्ध हल:दि या है: $\sin (\alpha +\beta )=1⟹\alpha +\beta =90^{\circ }\text{— (समीकरण 1)}$ दि या है: $\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}⟹\alpha -\beta =30^{\circ }\text{— (समीकरण 2)}$ दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$$2\alpha =120^{\circ }⟹\alpha =60^{\circ }$$
समीकरण 1 में मान रखने पर:
$$60^{\circ }+\beta =90^{\circ }⟹\beta =30^{\circ }$$
अब हमें मान ज्ञा त करना है: $\tan (\alpha +2\beta )\tan (2\alpha +\beta )$ कोण 1: $\alpha +2\beta =60^{\circ }+2(30^{\circ })=60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }$ कोण 2: $2\alpha +\beta =2(60^{\circ })+30^{\circ }=120^{\circ }+30^{\circ }=150^{\circ }$ त्रिकोणमि ती य मान रखने पर:
$$\tan (120^{\circ })=\tan (180^{\circ }-60^{\circ })=-\tan (60^{\circ })=-\sqrt{3}$$
$$\tan (150^{\circ })=\tan (180^{\circ }-30^{\circ })=-\tan (30^{\circ })=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
गुणनफल ज्ञा त करने पर:
$$\tan (120^{\circ })\cdot \tan (150^{\circ })=(-\sqrt{3})\times \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1$$